Geometri Bilgi



Açı :
Başlangıç noktaları aynı iki ışının birleşimine açı denir.

[AB ve [AC, açının kenarlarıdır.

A noktası, açının köşesidir.

Açı, ışınların üzerindeki noktaların kümesidir. Işınların arasındaki açıklığın ifadesi değildir.

 

Açının ölçüsü : [AB ile [AC arasındaki açıklığın sayısal ifadesine, açının ölçüsü denir.

x, açının derece olarak ölçüsüdür, açı değildir.

Açı Çeşitleri

Tam açı : Tam bir devir yapan açılara, tam açı denir. Tam açı 360° dir.

Doğru açı : Ölçüsü 180° olan açıdır.

Dik açı : Ölçüsü 90° olan açıdır.

Dar açı : Ölçüsü 90° ile 0° arasında olan açıdır.

Geniş açı : Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açıdır.

Komşu açılar : Aynı düzlem üzerinde bulunup, köşeleri ve birer kenarları dıştan ortak olan açılara komşu açılar denir.

Tümler açılar : Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.

Bütünler açılar : Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

Komşu bütünler açılar : İki bütünler açının birer kenarı ortak ise bu iki açıya komşu bütünler açılar denir.

Ters açı : ters açılardır.

Ters açıların ölçüleri eşit olur.

Yöndeş, İçters, Dışters ve Karşı Durumlu Açılar

d1 ile d2 paralel ve d3 bunları kesmektedir.

  1. (a1 ile a2), (a3 ile a4), (b1 ile b2), (b3 ile b4) yöndeş açılardır.

  2. (a2 ile a3) ve (b1 ile b4) iç ters açılardır.

  3. (a1 ile a4), (b2 ile b3) dış ters açılardır.

  4. (a2 ile b1) , (a3 ile b4) karşı durumlu açılardır.

a1 = a2 = a3 = a4 a2 + b1 = 180°

b1 = b2 = b3 = b4 a3 + b4 = 180°

AB // CD olduğunda,

 

Kriptografi Nedir?

27 Aralık 2007 Perşembe

Teknoloji geliştikçe iletişim yöntemleri de gelişti. Daha önceleri bir bilgiyi ne olursa olsun bir yere ulaştırmak hayati öneme haizken, şimdilerde artık bilgi öyle ya da böyle ulaştırılmak istenen noktaya ulaştırılıyor. Peki bu yeterli mi?

Dünyanın yaradılışından beri süre gelen en büyük mücadele bilgi mücadelesidir. Nasıl avlanmasını bilenlerin karnı doymuş, nasıl savaşmasını bilenler kazanmış, nasıl üretmesini bilenler büyümüştür. Daha fazla bilgiye sahip olanlar daima daha büyük ilerleme kaydetmiş ve daha çok söz sahibi olmuştur. Hal böyle olunca, insanların kafasını önemli bir soru meşgul etmiştir; “Daha fazla bilgiye nasıl ulaşırız?”. Tabiki bu önemli soru geçmişte de pek çok insan tarafından sorulmuş ve karşılığında bilimin ve teknolojinin gelişmesine katkıda bulunulmuştur, ancak bu sefer daha büyük gruplar tarafından, daha çok maddi destek ve kimi zaman ise bir devlet politikası olarak görülüp, bu sorunun derinine ulaşılmaya çalışılmıştır. Zaman ilerledikçe, bir şekilde bilgiye ulaşan gruplar, ülkeler ya da topluluklar için bu yeterli olmamaya başlamıştır. Çünkü ortada mide bulandırıcı bir durum vardır; “Acaba ulaştığımız bilgiler yeterli mi?”. Bu sorunun cevabı aslında bir anlamda başkalarının da nekadar bildiğini anlayabilmekte gizli. Tam da bu noktada, artık bilginin ulaştırılmasından da çok, yanlızca istenilen noktaya ulaşması, istenmeyen ellerden korunması daha önem kazanmıştır. Böyle bir güvenliğin sağlanması hiç bir zaman kolay olmamıştır. Bunun için kimi zaman bayanların cazibesi, kimi zaman en kahraman askerler kullanılmış ve bilginin farklı eller deymeksizin istenilen noktaya ulaştırılması sağlanmaya çalışılmıştır. Gelişen teknoloji, internet ve bilgisayarların ciddi gelişimleri ile birlikte günümüzde bunu yapmak çok daha fazla zorlaşmıştır. Bu nedenle bilgisayar ve bilgisayar ağlarında; şifreleme ve deşifreleme teknikleri yani kriptografi kullanılmaya başlanmıştır.

Kriptografi temelde bazı ana konulara yönelir. Bu alanlardan birincisi gizliliktir. Bilgi kesinlikle istenmeyen kişilerin eline geçememelidir. Bir diğeri ise bütünlüktür. Gönderilen bilgi bir bütün halinde olmalıdır, davetsiz misafirler doğru bilgiyi yanlış bir bilgi ile değiştirme imkanına sahip olmamalıdırlar. Bilgi gönderen ya da hazırlayan daha sonra, bunu kendisinin gönderdiğini rededememelidir. Son olarak gönderen ve alıcı birbirlerinin kimliklerini doğrulayabilmelidirler. Davetsiz bir misafir başka birinin kimliğine bürünememelidir.

Şifrelenmiş bir veri şifrelimetindir. Bu metni geri çevirme durumuna ise şifre çözümü denir. İşte bu verilerin güvenliğini sağlayanlara kriptograf, bu bilime ise kriptografi denir. Bunun yanı sıra, şifrelerin analiz edilmesi ve şifre biliminide kapsayan bir matematik dalı vardır ki bu da kriptolojidir.

Veri Şifreleme yaparken Açık ve Gizli olmak kaydı ile iki tür sistem kullanılır. Açık Anahtarlı sistemler kullanılarak yapılan veri şifrelemelerinde, her kişinin açık ve gizli olarak anahtarlara sahip olması gerekir. Gizli anahtarlar sadece sahibinin ulaşabileceği şekilde saklanmalıdır. Aksi takdirde şifrelemenin bir anlamı kalmaz çünkü açık anahtar herkesin ulaşabileceği pozisyondadır. Dolayısı ile tabiki bu iki şifre arasında matematiksel bir bağ olması gerekir. Bu anahtarların ve bağın oluşturulmasında, çok ciddi matematik problemleri kullanıldığından, açık anahtara ulaşan herhangi birinin gizli anahtarı ele geçirmesinin imkansız olduğu düşünülür. Bu tarz sistemler sadece metin alışverişlerinde kullanılmaz. Sayısal imza uygulamalarında, kimlik denetiminde, banka güvenliğinin sağlanmasında, internet üzerinde yapılan alışverişlerde ve daha pek çok yerde kullanılır.

Açık Anahtarlı sistemler temelde şu şekilde işler; İki kişi vardır, birer açık ve birer gizli anahtarları vardır. Birbirlerine gönderecekleri mesajı, açık anahtarları ile şifrelerler, fakat gelen mesajları deşifre etmek için sadece kendilerinde bulunan gizli anahtarları kullanırlar. Örneğin internet üzerinden bir alışveriş yapmak istediğimizde, herkes şirketin açık anahtarını kullanarak kredi kartlarını şifrelerler, ancak gizli anahtarı sadece şirket bildiği için, dışardan gelen dinlemelere karşı güvenlidir.

Burada eğer açık ile gizli anahtar birbirlerine eşitse, sistem simetrik olarak adlandırılır. Aksi durumlarında sistem asimetriktir. Bu açıdan güveliğin herzaman kontrol altında olabilmesi için gizli anahtar daima istenilen kişinin ulaşabileceği bir noktada olmalıdır.

Daha öncede vurguladığım gibi açık anahtarlı sistemlerde karmaşık ve çözülememiş matematiksel problemler kullanılır. Bu nedendendir ki, simetrik sistemlere göre daha yavaştırlar. Dolayısı ile bu sistemlerde anahtar boyutları da yine simetrik sistemlerdeki anahtar boyutlarından daha büyüktür.

Algoritmalardaki bütün güvenlik tamamen anahtara bağlıdır. Herhangi birinin algoritmanızı bilmesi bir şeyi değiştirmez. Anahtarınızı bilmediği sürece, algoritmanızı incelemesi, bir güvenlik açığı oluşturmaz. Dolayısı ile bir sisteme yapılan saldırılar, tamamen o sistemin anahtarının bulunmasına yöneliktir. Bunun içinse, çeşitli saldırı yöntemleri kullanılır. Seçilmiş Açık Metin Saldırısı, Sadece Şifreli Metin Saldırısı, Bilinen Açık Metin Saldırısı, vs.

Yukarıdaki bilgiler, kimimiz için yararlı olabilirken, kimimiz için yetersiz olabilir. Bu durum içine affınıza sığınırım. Amacım kriptografi hakkında genel bir bilgi verip, ilgi duyan ve türkçe kaynak sıkıntısı çekenlerimize, en azından temel anlamda bir şeyler oturtması için yardımda bulunmaktır. Umarım en az bir kişi için bir faydası olmuştur.

Eski Mısır'lılarda Geometri

Eski Mısır'da görülen geometri bilgileri, yüzey ve hacim hesapları olarak karşımıza çıkmaktadır. Mısırlılar, kare ve dikdörtgen alanlarını, doğru bir şekilde hesaplayabiliyorlardı. Düzgün olmayan bir yüzeyin planını ise, dörtgenleştirme yoluyla elde ediyorlardı. Üçgen alanı bilgisinden hareket ederek de, yamuğun alanını elde ediyorlardı.
Mısırlılar'ın; üç boyutlu cisimlerden; silindir, koni, piramit, dikdörtgen prizma ve kesik prizma hacimlerini de bildikleri anlaşılmaktadır. Kesik piramidin hacminin hesaplanması, zamanın geometrisi için son derece önem taşımaktadır. Aydın Sayılı; adı geçen eserinde konu ile ilgili geniş bilgi verdikten sonra şunları yazar: "Mısırlılar'ın, aritmetiklerinde olduğu gibi geometri problemlerinin çözümünde de, tamamıyla somut özel hallerin ele alınmasından ileri gidilmiyor. Karşılaşılan bütün örneklerde ortak bir vasıf Mısır geometrisinde genel formül kavramının mevcut olmayışıdır. Zihinde bir nevi genel formül fikri ve belli genellemeler vardı. Açı geometrisi mevcut değildi. Bunun yanında Doğru geometrisi gelişmiş durumdaydı." Burada doğru geometrisi ile ölçü için; sadece doğruları kullanan ve açı kavramına başvurmayan bir geometri kastedilmektedir. Alan ve hacim hesapları, doğruların yardımıyla yapılmaktadır. En, boy, taban, dikme, köşegen, çap ve çevre, hem ölçülebilen, hem de ölçüde aracı rolünü kullanıyordu. Bugünkü ifadeyle; 45 derecenin, bazı trigonometrik özelliklerini de bildikleri anlaşılmaktadır.
Burada akla şöyle bir soru gelmektedir; Mısırlılar, ilkel geometri bilgisi diyebileceğimiz, ama bugünkü geometrinin temel bilgilerini, hangi ihtiyaçları sonucu ortaya koymuşlardır?
Bilindiği gibi; Nil Irmağının mevcudiyeti, Mısır'ın günlük hayatı için son derece önemlidir. Bu ırmağın taşmasıyla, su altında kalan arsaların sık sık ölçülmesi, kaybolan ya da zarara uğrayan arsanın ölçüsünün doğru olarak tespiti ve vergi miktarlarının da buna göre belirlenmesi gerekmektedir. Mısır mezar lahitlerinin, piramitlerin, tahta işlerinin estetik bakımdan üstünlük sağlaması, hem çalışmaların ihtiyacından doğmuş ve hem de, zaman için var olan ölçü tekniği ile, basit de olsa, bu ölçülerin hesaplama tekniğinin kısmen ileri derecede olmasıdır.

Eski Yunan'da Geometri

Eski Yunan matematikçilerinden Demokrit'te, gelişmiş bir geometri bilgisi görülmektedir. Ancak kaynaklar; Demokrit'in Eski Mısır matematiği ile temasta olduğunda hemfikirdir.

Thales, ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğunu bildiği, ancak üçgenin iç açılarının 180 derece olduğu yolundaki bilgilerin Thales'e ait olmadığı anlaşılmıştır. Pisagor, geometri çalışmalarında, güney İtalya'da Kroton'da okullar açmış ve geometrinin gelişmesini sağlamıştır. Öklid, Elementler adlı geometri kitabını yazmakla ün yapmıştır. Bu eserdeki geometri bilgileri 2000 yıl kadar, fazla bir değişikliğe uğratılmadan, geometri derslerinde okutulmuştur. Bu eserin bazı kısımları, günün ihtiyaçlarına cevap vermek için, 1700 yılından itibaren modernleştirilmiştir. Bugünkü geometride bilinen birçok bilgiler, Elementler'de vardır.

Kaynaklar; geometrinin önce Eski Mısır'da başladığını, Eski Yunanlılar'ın geometriyi Eski Mısır'dan öğrenmiş olduklarını belirtmektedir. Tarihçi Herodot (M.Ö. 485-425), geometrinin Eski Mısır'da başladığını ve arazi ölçüsü ihtiyacından doğmuş olduğunu belirtir. Aydın Sayılı: "Bunun gerçeğe uygun olduğunu, yani bölge bir menşeden başlayarak, geometrinin Eski Mısır'da bir ilim haline geldiğini kabul edebiliriz" der. Eski Yunanlılar'ın, matematikte ve özellikle geometri bakımından, Eski Mısırlılar'dan geniş şekilde yararlanmış oldukları anlaşılmıştır. Bu durumda, Eski Yunanlılara atfedilen geometri bilgileri hakkında şu görüşü belirtebiliriz:

Eski Yunanlılar, Eski Mısır yörelerini uzun yıllar dolaşmışlar. Bu yöreleri ilk dolaşan ve Eski Yunan'ın ilk bilgini sayılan Thalestir (M.Ö. Miletes 640 ? - 548 ?) .Thales'ten sonra Pisagor'un ve Öklid'in bu yöreleri uzun yıllar dolaştıkları tarihi bir gerçektir. Bu bilginler, buralardan elde ettikleri geometri bilgilerini almışlardır. Ayrıca, geometriyi sistemli ispatlara dayanan müstakil bir bilim haline getirmişlerdir. Eski Yunanlılar'ın başarısı, geometriyi sistemleştirip, müstakil bir matematik dalı haline getirmiş olmalarıdır.

Rönenans Dönemi Geometrisi

Batı'da Geometri araştırmalarına ancak XV. yüzyılın ortalarına doğru yeniden bir canlanma geldi. Eskiden geometrik şekiller üzerinde ayrı ayrı özel uygun metotlarla durulur, inceleme yapılırken, yeni bir anlayışla, genelleme ve soyut inceleme yoluna girilir oldu.

Mesela meşhur teğetler problemi bu açıdan yeni bir metodla ele alındı. Konikler, Arşimed spirali gibi eğrileri ilgilendiren teğetler, eskiden beri çok dikkatli, derin, fakat birbirinden farklı görüşlere göre incelenmekte idi. Daire dışında, daha karmaşık eğriler için yapılacak teğet tanımının, daire teğetleri için yapılan, "yalnız tek bir ortak noktası bulunan doğru" tanımından farklı olması gereği anlaşılmıştı. Ve teğet için "eğri ile ortak tek bir değme noktası bulunan ve bu noktadan eğri ile kendisi arasında başka hiçbir doğru çizilemeyen doğru" tanımı kabul edilmişti. Yeni ve artık modern diye nitelendirilecek olan görüşte ise, genel olarak, teğete eğrinin bir noktası etrafında dönen bir kesenin limit durumu gözüyle bakılmaya başlanmıştır. Bu görüş ve tanım özellikle Descartes ve Fermat gibi XVII. yüzyıl matematikçileri tarafından benimsenerek yararlı hale sokulmuştur.

Bundan başka, şekilleri tamamıyla belirli ve basit olma özelliğiyle nitelendirmek yerine, yeni matematikçiler, inceleme konusu yapılan şekle, değişken bir şeklin özel hali gözüyle bakmaya başlamışlardır.Bir eğriye de, içine çizili ve kenarları gittikçe küçülen bir poligonun limiti gözüyle bakılma geleneği kuruldu.Rönesans devri geometrisinin başka karakteristik bir yanı da, geometri meselelerine yavaş yavaş cebir hesaplamalarının ithal edilişidir. Bu da görüleceği üzere, Analitik Geometri'nin oluşturulmasına yol açmıştır.Geometri araştırmaları bakımından bu dönem matematikçileri arasında kendilerinden özellikle bahsedilmesi gerekli olanlar Vieté ve Kepler'dir. Kepler'in ünü daha çok astronomi konuları üzerindeki çalışmaları nedeniyledir. Bununla beraber, parabola elipsin limit hali gözüyle bakma suretiyle geometriye süreklilik kavramını kazandırmasını, hiperbolü de sonsuzda birbirini kesen iki paralel doğrunun limit hali olarak tanımlamasını Kepler'in ilgi çekici buluşları arasında saymak gerekir.

Türk-İslam Dünyası'nda Geometri

Matematiğin; aritmetik, cebir ve trigonometri dallarında kurucu denecek kadar eser ortaya koyan, 8. ile 16. Türk - İslam Dünyası alimleri; geometri dalında da, temel teşkil edecek, zamanı için orijinal ve kıymetini uzun yıllar koruyan eserler ortaya koymuşlardır.

İlk defa, cebiri geometriye tatbik etme fikri, ilmi metotlarla çalışan, bu devir matematikçilerinin eseri olmuştur. Bu durum, geometrinin çok kısa zamanda gelişmesini sağlamıştır. Özellikle, eski Yunan alimlerinin ortaya koydukları geometri konularını kapsayan eserler, uzun yıllar anlaşılamamıştır. Ne zaman ki; İslam alimlerinin bu eserlere yazdıkları yorumlamalar sonucu, Öklid ve çağdaşlarının eserleri ancak anlaşılabilirlik kazanmıştır. Bunlardan;

Hârizmî ve Geometri
Matematikte yeni sayılabilecek bir dal olan, analitik geometri ile ilgili eserler, analitik geometriyi, 16. yüzyıl Fransız matematikçi Descartes'in, 1637 yılında yazdığı La Geometri adlı eseri ile başlatırlar. Gerçekte, Hârizmî tarafından 830 yılında Arapça olarak yazılan Cebri ve'l Mukabele adlı eserde, analitik geometriye ait ilk bilgiler ortaya konmuştur. Hatta, Ömer Hayyam'in Cebir adlı eserinde de, analitik geometriye ait bilgilerin varlığı görülür. Analitik geometrinin Descartes'la ilgisini, şu şekilde belirtmek, gerçeğin tam ifadesi olur.

Descartes, kendisinden önceki yıllarda var olan analitik geometri bilgilerini toplayarak sistemleştirmiş ve kısmen de genişletmiştir. Müsteşrik Sigrid Hunke, analitik geometri konusunda aynen şunları yazar. "Adedi çokluklarla (kemiyetlerle) geometrik çoklukların beraber yürütülmesi gerektiğine dair kesin fikir de ilk olarak, İslam ilim sahasında rastlanır. Rönesansımızın üstatları, onun için, Yunanlılar değil, bilakis İslam Dünyası oldu. "Denebilir ki; cebirin geometriye tatbikati demek olan, analitik geometriyi münferit bir geometri dalı haline getirme metotlarını ilk olarak Hârizmî tarafından ortaya konmuştur.

Trigonometrinin Avrupa'da duyulup dağılmasına etkili olanların başında gelen Sabit bin Kur-ra, geometri konularındaki çalışmaları ile de adını zamanımıza kadar sürdürmüş olan ünlü matematikçilerimizden biridir. Konikler kitabı ile Apolonyos'a serh yazdı. Huneyn bin İshak tarafından Öklid'in Elementler adlı eserine yazılan serhi, ilaveler yaparak düzeltti. Menalaus, Apolonyos, Pisagor, Archimed, Öklid ve Theodosus'un eserlerini Arapçaya tercüme etmekle, geometriye, zaman için orijinal olan, yeni bilgiler kazandırmıştır.

Ebu'l Vefa ve Geometri
Trigonometri çalışmaları dışında, düzgün çokyüzlüler konusuyla da uğraşmıştır. 7 ve 9 kenarlı düzgün çokgenlerin yaklaşık çizimlerine dair yeni bir geometrik yöntem ortaya koymuştur. Kısmen Hint modellerine dayalı olarak ortaya koyduğu geometrik çizimleri, geometri bakımından önem taşır. Ebu'l Vefa'nın çizim geometrisine ait ortaya koyduğu çalışmalarına dair bir fikir verebilmek için üç ayrı problemini örnek olarak belirtelim. Bunlar:

- Pergelle, daire içine, açıklığını bozmadan kare çizmek.
- Verilen bir doğru parçasını, pergel yardımıyla eşit parçalara bölmek.
- Verilen bir kare içine, eşkenar bir üçgen çizmek.

Matematik tarihi incelendiğinde; ünlü matematikçilerden, Thales, Öklid, Pisagor'un hazırladıkları eserler ve bu eserlerinde ortaya attıkları teoremler, Hârizmî, Ömer Hayyam, Sabit bin Kurra, Beyruni, Nasiruddin Tusi'nin ortaya koydukları görüşler sonucu, geometri yeni boyutlar kazanmıştır

Dik Silindir

Bir dikdörtgensel bölgenin, kenarlarından biri etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cisme dik silindir denir.




Dik silindir aynı zamanda, tabanı daire olan bir dik prizmadır.
Yanal yüzün tabanı, tabandaki dairenin çevresine eşittir.




Deltoid

a. Deltoid Tabanları çakışık iki ikizkenar üçgenin oluşturduğu dörtgene deltoid denir.

b. Deltoidin köşegenleri diktir.

|AC| ^ |BD|
c. Köşegenleri dik olduğundan alanı
d. ABCD deltoidinde [AC] köşegeni aynı zamanda A ve C açılarının açıortay doğrusudur. e. ABD ve BCD ikizkenar üçgenlerinin tabanını oluşturan köşegen diğer köşegen tarafından iki eşit parçaya bölünür.
f. Deltoidin farklı kenarlarının birleştiği köşelerdeki açıları eşittir.
m(ABC) = m(ADC)

Kare

1. Kare
Bütün kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgene kare denir.

2. Karenin Alanı

Bir kenarı a olan karenin alanı
A(ABCD) = a2


3. Karenin Özellikleri

a. Karenin köşegenleri birbirini dik ortalar. Köşegenlerin kenarlarla yaptığı açılar 45° dir.


b. Bir kenarı a olan karenin köşegeni
|AC| = |BD| = aÖ2

Dikdörtgen

 

Karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgene dikdörtgen denir.Dikdörtgen paralelkenarın açıları 90° olan halidir. Bu nedenle paralelkenarın sahip olduğu bütün özelliklere sahiptir.
1.Dikdörtgen
Karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgene dikdörtgen denir.
  • Dikdörtgen paralelkenarın açıları 90° olan halidir. Bu nedenle paralelkenarın sahip olduğu bütün özelliklere sahiptir.
2. Dikdörtgenin Alanı ve Çevresi
a. Dikdörtgenin alanı farklı iki kenarının çarpımına eşittir.
A(ABCD) = a . b
b. Bütün dörtgenlerde olduğu gibi dikdörtgende deköşegen uzunlukları biliniyor ise alanı,

c. Dikdörtgenin çevresi
3. Dikdörtgenin Köşegen Özellikleri
a. Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenler birbirlerini ortalar.
|AC| = |BD||AE| = |EC| = |DE| = |EB|

b. Kenar uzunlukları a ve b olan ABCD dikdörtgeninde köşegen uzunlukları
|AC| = |BD| = Öa2 + b2
c. ABCD dikdörtgeninin içinde alınan bir P noktası dikdörtgenin köşeleri ile birleştirilirse
|AP|2 + |PC|2 = |PD|2 + |PB|2
  • P noktası dikdörtgenin dışında olduğunda da aynı özellik geçerlidir.

Eşkenar Dörtgen

 

1. Eşkenar Dörtgen
Dört kenarı birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.

  • Parelelkenar için geçerli olan bütün özellikler eşkenar dörtgen için de geçerlidir.
2. Eşkenar Dörtgenin Özellikleri
a. Bütün kenar uzunlukları eşit olduğundan, alanı

A(ABCD) = a . h



b. Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik keser.
sin90° = 1 olduğundan


c. Eşkenar dörtgenin köşegenleri aynı zamanda açıortay doğrularıdır.

PARELELKENAR

Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir.
[AB] // [DC]
[AD] // [BC]
|AB| = |DC|
|AD| = |BC|

  • PARELELKENAR
Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir.
[AB] // [DC] [AD] // [BC]
|AB| = |DC|
|AD| = |BC|
  • Bir dörtgende karşılıklı kenarlar paralel ise eşit, eşit ise paralel olmak zorundadırlar.
1. Paralelkenarda karşılıklı açılar eş, komşu açılar bütünlerdir.
a + b = 180°2. Paralelkenarın Alanı
a. Paralelkenarın alanı herhangi bir kenarla o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
A(ABCD) = a . ha = b . hb
b. İki kenarı ve bir açısının ölçüsü bilinen paralelkenarın alanı;
A(ABCD) = a . b .sina
c. Köşegen uzunlukları ve köşegenleri arasındaki açısının ölçüsü bilinen paralelkenarın alanı;
3. Paralelkenarda Köşegen Özellikleri
a. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
|AE| = |EC|
|DE| = |EB|

b. Paralelkenarda köşegenler alanı dört eşit parçaya bölerler.

c. Paralelkenarda bir kenar üzerinde alınan bir noktanın karşı köşelere birleştirilmesiyle oluşan alan tüm alanın
yarısına eşittir.
A(PCD) = A(APD) + A(BPC)
d. Paralelkenarın içinde alınan herhangi bir P noktası köşelere birleştirildiğinde oluşan karşılıklı üçgenlerin
alanları toplamı eşittir.
S1 + S3 = S3 + S4
  • Bir ABCD paralelkenarında bir köşeyi, karşı kenarların ortanoktaları ile birleştirdiğimizde alanlar şekildeki gibibölünür.

e. ABCD paralelkenarında K ve L noktaları kenarların orta noktaları olduğuna göre, E ABD üçgeninin, F de DCB üçgeninin ağırlık merkezidir.|AE| = 2|EN| |FC| = 2|NF
|AE| = |EF| = |FC|
[AC] köşegeni, [DK] ve [DL] doğru parçaları paralelkenarın alanını şekildeki gibi bölerler.
f. Paralelkenarda komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 90° dir.
  • E noktasından [AB] ve [DC] kenarlarına çizilen paralel AED dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortayın uzantısıdır.

    [AB] // [KL] // [DC] Û |AK| = |KD| = |KE|
    |BL| = |LC|
  • Açıortayların kesiştikleri noktanın paralelkenarın dışında kalması durumunda
    |AD| = |AK| = |LB| = |BC|

g. ABCD paralelkanarının alanının taralı alana oranı;

Uzay Geometrisi

21 Aralık 2007 Cuma

 

  • BAZI KAVRAM ve TANIMLAR
Geometride nokta, doğru, düzlem ve uzay gibi bazı kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. Kalemin veya sivri bir şeyin ucunun bıraktığı ize nokta diyebiliriz. Cetvelin kenarı ile bir doğru çizebiliriz. Sınıfın duvarı, pencere camı birer düzlemdir. Odanın içerisi, herhangi bir cismin kapladığı yer birer uzay belirtirler.
Nokta : « . » Biçiminde ifade edilir ve genellikle büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur.
« . » nokta, « . A” A noktası
Doğru : iki ucuna ok işareti koyulmuş düz bir çizgi ile gösterilir. Doğru küçük harfle veya üzerindeki iki nokta ile gösterilir.
d »d doğrusu veya AB doğrusu diye okunur. Buradaki A ve B noktaları doğrunun birer elemanıdır.
A Îd ve B Î d biçiminde yazılır.
  • Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.
  • Farklı iki nokta bir tek doğru belirtir.
Doğru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz konusudur.
Düzlem: Uzunluğuna ve genişliğine doğru sonsuza uzayıp giden düz bir yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa üzerinde paralelkenar gibi gösterilebilir. Paralelkenarın köşesine harfle ismi yazılabilir.
şekildeki düzlem E düzlemi diye isimlendirilir.
Burada A, B ve C noktaları E düzlemi üzerindedir. Dolayısıyla B ve C noktalarından geçen d doğrusu da E düzlemi üzerindedir.

A Î E
B Î E
C ÎE
d ÎE
  • Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir.
  • Bir doğru ile, bu doğru üzerinde olmayan bir nokta, bir düzlem belirtir.
  • Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlem üzerinde ise bu doğru (doğrunun bütün noktaları) bu düzlem üzerindedir.
1. Düzlemle Doğrunun Durumları

Bir doğru düzlemin ya üzerinde, ya dışındadır veya düzlemi bir noktada keser.
d1Ç a = d1
d2Ç a = Ø
d Çb = {K}
K noktası kesişen bir doğru ile bir düzlemin arakesitidir.

2. Düzlemde İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları
  • Paralel farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir.
  • Her paralel farklı iki doğrudan bir tek düzlem geçer.
  • Kesişen farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir. Her kesişen farklı iki doğrudan bir tek düzlem geçer.
  • Bir düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir, ya da bir noktada kesişirler.
d1Ç d2 = Ø
l1Ç l2 = {A}
Üst üste çizilen çakışık doğrular bir tek doğru kabul edilir.

3. Düzlemde Üç Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları
Üç doğru paralel olabilir.
d1 // d2 // d3 d1 Ç d2Çd3 = Ø
Düzlemde paralel olan iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.
d1 // d2 ve d2 // d3 ise d1 // d3 olur.
Yalnız ikisi paralel ise, üçüncü doğru paralel doğruları birer noktada keser.
l1 // l2
l1Ç l3 = {A}
l2Ç l3 = {B}
  • Düzlemde paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru, diğerini de keser.
  • Düzlemde paralel iki doğrudan birini dik kesen bir doğru diğerini de dik keser.


Üç doğru bir noktada kesişebilir.

k1Ç k2Çk3 = {P}
Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir.
t1Ç t2 = {A}
t1 Ç t3 = {B}
t2 Ç t3 = {C}
t1 Ç t2 Çt3 = Ø
4.Düzlemde Nokta İle Doğrunun Durumları
  • Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.
d2 doğrusu A'dan geçer ve d1 e diktir
  • Doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.
d3 doğrusu B'den geçer ve d1 e diktir.
  • Doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya paralel olan bir tek doğru çizilebilir.
l2 doğrusu A'dan geçer ve l1 ile paraleldir.
5. Doğruların Düzlemde Ayırdığı Bölge Sayısı

Genel olarak, n adet doğru bir düzlemi en az (n + 1) bölgeye (paralellik hali), en
fazla

bölgeye ayırır.
  • İki doğru, bir düzlemi en az 3 bölgeye, en fazla 4 bölgeye ayırır.
  • Üç doğru, bir düzlemi en az 4 bölgeye, en fazla 7 bölgeye ayırır.
  • Dört doğru, bir düzlemi en az 5 bölgeye, en fazla 11 bölgeye ayırır.
  • UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik kavramı vardır. (Derinlikte denilebilir.) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3 ile sembolize edilir.
Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları belirtilmiştir.
1. Uzay Belirtme Aksiyomları
  • Dördü aynı düzlemde bulunmayan farklı dört nokta uzay belirtir.
E düzlemindeki A, B, C noktaları ile düzlem dışındaki P noktası, uzay belirtir.
  • Bir düzlem ile bu düzlemin dışındaki bir nokta, uzay belirtir.
E düzlemi ile bu düzlemin dışındaki P noktası uzay belirtir.
  • Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doğru uzay belirtir.
d doğrusu F düzleminde olmadığından, F düzlemi ile d doğrusu uzay belirtir.
  • Uzayda farklı iki düzlem ya paraleldir ya da kesişirler.
  • Paralel olmayan farklı iki düzlem daima kesişir.
  • Farklı iki düzlem daima uzay belirtir.
  • Kesişen iki düzlemin ortak noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir.
Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E Ç F = d dir

Geometri-Üçgende açı-kenar bağıntıları çalışma soruları

Download:
Buradan indir...

Torodial Koordinat Sistemleri

Download:
http://rapidshare.com/files/32006874...__ATI.doc.html

Geometri-Üçgende Benzerlik Çalışma Soruları

Buradan indir...

Düzgün Piramitlerin Özellikleri

Taban yüzeyi düzgün bir çokgendir.
Yanal yüzler özdeş ikizkenar üçgenlerdir.
Yanal yüzlerin tepe noktası ortaktır.
Tepe noktasını tabanın orta noktasına birleştiren dikmenin uzunluğu, piramidin yüksekliğidir.
Yanal yüzlerden birine ait olan yükseklik, piramidin yanal yüz yüksekliğidir.
Dört yüzü de eşkenar üçgen olan piramide düzgün dört yüzlü denir.


Yanal alanı : Taban Çevresi x yanal yüz yüksekliği

Kare dik piramitte;

Dik Üçgenin Bir Kenarı Etrafında Döndürülmesi

 

Bir ABC dik üçgeni bir kenarı etrafında 360° dönürülürse taban yarıçapı |CB| ve yüksekliği |AB| olan dik koni oluşur.

İkizkenar dik üçgen simetri ekseni etrafında 180° döndürülürse dik koni elde edilir.

Hacim Ölçüsü Birimleri

 

Metreküpün Katları
Metreküpün As Katları

Farklı Şekillerin Döndürülmesi


Bir dik yamuk alt tabanı etrafında 360° döndürülürse bir silindir ve bir küre meydana gelir.

Uzunluk Ölçüsü Birimleri

 

Metrenin Katları
Metrenin As Katları
Reklam
 
HOŞGELDİNİZ...!!!
 
Tavsiye Edilen Bağlantılarımız
 
Dünyanın En Güncel Teknolojisi Sitesi WwW.DunyaninTeknolojisi.CoM

Kaç Kişi Sitede?
 
 

=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=