Tanım a0,a1,a2,.....an reel sayılar ve n N olmak üzere , anxn + an – 1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 biçimindeki ifadelere , x’e göre yazılmış reel katsayılı polinom denir. Anxn teriminde an sayısına katsayı , n’ye de terimin derecesi denir. En büyük dereceli terimin derecesi, polinomun dercesidir. Derece yerine kısaca “der” yazılır. Polinomlar P(x) , Q(x), ... ile gösterilir. Reel katsayılı polinomların kümesi R|x| ile gösterilir. Katsayıları rasyonel sayılardan oluşan polinoma “rasyonel katsayılı polinom” denir. Rasyonel katsayılı polinomların kümesi Q|x| tir. Katsayıları tam sayılardan oluşmuş , “tam katsayılı polinomların kümesi” de Z|x| tir. Z|x| Q|x| R|x| ÖRNEK A) X4 + 5X2 – 7X + 6 Çözüm Dördüncü dereceden polinom. b) x3 + + 4 x3 + + 4 = x3 + 3x-1 + 4 ifadesi polinom değildir. Çünkü –1 üssü doğal sayı değildir. c)5x6 + + 1 5x6+ + 1= 5x6 + x1/2 + 1 ifadesi polinom değildir. Çünkü üssü doğal sayı değildir. d)2x + 7 Birinci dereceden polinom. e) x3 + x2 – 7x + 5 Üçüncü dereceden polinom. SABİT POLİNOM P(x) = a , (a R) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun dercesi sıfırdır. Örnek P(x) = 4 Q(x) = Polinomları sabit polinomlardır. R(x) = NOT P(x) = 0 sıfır polinomu sabit polinomdur. P(x) = 0 = 0 . x0 = 0 . x1 = 0 . x7 = ... yazılabileceğinden sıfır polinomunun dercesi belirsizdir. Bu nedenle sıfır polinomunun derecesi yoktur denir. Örnek P(2x – 3) = x4 + 2x2 – x + 5 ise P(1) in değerini bulunuz. Örnek P(2x – 3) = 4x2 + 6x + 1 olduğuna göre P(x) polinomunu bulunuz. Çözüm 2x – 3 = 1 => x = 2 yazılır. P(4 – 3) = 16 + 8 – 2 + 5 P(1) = 24 + 3 = 27 bulunur. Çözüm P(2x - 3) ifadesinden P(x) i elde etmek için fonksiyonlarda olduğu gibi x yerine 2x-3 ün tersi yazılır. P(2x – 3) = 4x2 + 6x + 1 P(x) = 4 ( )2 + 6 ( ) + 1 P(x) = 4 . + 3(x + 3) + 1 P(x) = x2 + 6x + 9 +3x + 9 + 1 P(x) = x2 + 9x + 19 olur. POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1. Toplama ve Çıkarma P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ... olmak üzere, P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + ... P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + ... olur. 2. Çarpma İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir. 3. Bölme der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere, P(x) : Bölünen polinom Q(x) : Bölen polinom B(x) : Bölüm polinom K(x) : Kalan polinomdur. Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x) Ü der [K(x)] < der [Q(x)] Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür. Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)] Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır. Bunun için; 1. 2. Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. 3. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür. 4. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır. 5. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır. 6. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz. 1. Bölen Birinci Dereceden İse Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır. * * P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir. * P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan 2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur. P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise, P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur. P(b) = mb + n ... (1) P(c) = mc + n ... (2) (1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur. Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir. 3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur. 1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur. 2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır. * * P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır. 4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+) P(x) = axn + bxm + d ise, Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0 Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir. P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise, P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan K(x) = (x – a) k2 + k1 olur. G. BASİT KESİRLERE AYIRMA a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere, eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur. Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır. Aynı işlemler B için de yapılır. H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER m > n olmak üzere, der[P(x)] = m der[Q(x)] = n olsun. Buna göre, 1. 2. der[P(x) ± Q(x)] = m tir. 3. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir. 4. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir. 5. k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir. 6. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.